Основная задача антигравитационного крыла для толстого диска

Комментарии

СТАТЬЯ НАХОДИТСЯ НА РЕДАКТИРОВАНИИ (будут изменения в формулах и выводах)!!!

Дмитрий Пономарев

Роман Шибеко

03.11.2024г.

Открыть статью в формате pdf

Основная задача антигравитационного крыла для толстого дискаСкачать

Под основной задачей антигравитационного крыла понимается нахождение результирующей нормальной силы, действующей благодаря наличию гравитационного поля и обусловленную вращением антигравитационного крыла. В практических целях наиболее важным является решение основной задачи антигравитационного крыла для толстого диска.

Для толстого диска ее можно сформулировать следующим образом: найти равнодействующую нормальную к диску силу гравитационного взаимодействия, если масса покоя рядом находящегося тела (например, планета) М, расстояние от центра тела М до кромки диска Н, толщина диска h, радиус диска r_д, частота вращения диска относительно тела М равна n, гравитационная постоянная G (смотри рисунок 1). Также примем, что тело массой покоя М является точечной массой.

Условно примем, что тело М является точечной массой.

Примечание: расчеты применительно к телу М, но со сферически-симметричным распределением массы (условно – планета) будут представлены в других работах релятивистской модели антигравитационного взаимодействия тел.

Зависимость гравитационного потенциала для поля, создаваемого точечной массой во вращающейся системе отсчета, выглядит следующим образом:

где: w — угловая скорость вращения системы отсчета связанной с материальной точкой А, составляющей диск, относительно системы отсчета связанной с телом М; r – расстояние от материальной точки А до оси вращения диска; R – расстояние от материальной точки А до центра тела массой покоя М; с – скорость света в вакууме.

Потенциальная энергия в поле консервативных сил (гравитационные силы консервативны) связаны с силой соотношением:

Если имеется точечная масса М, то поле вокруг нее обладает сферической симметрией, поэтому можно записать:

где: — единичный вектор, по направлению совпадающий с радиусом, проведенным от точечной массы М, создающей гравитационное поле, к материальной точке А.

В проекциях на ось ОХ и учтя, что , получим:

Формула справедлива, если какая-либо точечная масса m помещена в гравитационное поле, создаваемое массой М.

Теперь вернемся к вращающемуся диску и выберем элемент массы dm на диске (рисунок 2).

Тогда элементарная масса записывается:

где: ρ — плотность материала диска; dλ – элементарная толщина; dr – элементарная ширина; dl – элементарная длинна.

Рассмотрим на диске две точки, расположенные на окружности с неким радиусом r и предположим, что измеряется расстояние между двумя этими точками измерительной линейкой. Тогда окажется, что изме­рительная линейка, соединяющая эти две точки, имеет скорость ωr относитель­но массы М. Это приводит к сокращению изме­рительной линейки в соответствии с формулой Ло­ренца. Поэтому расстояние между двумя точками, измеренное сократив­шейся линейкой, будет равно:

где: dl₀ – расстояние по дуге между двумя точками при неподвижном диске.

Ясно, что геометрические соотношения, полученные с помощью стандартных измерительных линеек, покоящихся относительно диска, в общем случае отличаются от соотношений евклидовой геометрии. Рассмотрим, например, кри­вую, заданную уравнением r = const. Эта кривая пред­ставляет собой окружность радиуса r. Однако длина этой окружности равна:

Плотность вдоль радиуса диска при вращении не изменяется. Действительно, рассмотрим элемент массы dm на расстоянии r от оси вращения. Поскольку он движется с линейной скоростью ωr, то можно записать:

Домножив dl на hdr (dr при вращении не изменяется), получим:

где: dV – элементарный объем при вращении; dV₀ – элементарный объем при неподвижном диске.

Следовательно, можно прийти к выражению:

где: — плотность тонкого диска при отсутствии вращения.

Исходя из рисунка 3, можно сказать, что силу , действующую на элемент dm можно разложить на тангенциальную и нормальную составляющие соответственно.

Нас интересует нормальная составляющая, для которой можно записать выражение (записывается для элементарного кольца в структуре диска):

Производная потенциала имеет выражение:

Естественно, что  , где δ – расстояние от центра материального тела массой покоя М до перпендикуляра, проведенного от оси вращения диска к материальной точке А массой покоя dm. Тогда получаем:

Интегрируя по поверхности диска и учтя, что  получаем выражение для итоговой равнодействующей нормальной силы, действующей на диск (с учетом знаков):

На рисунке 4 показаны зависимости равнодействующей нормальной силы от радиуса диска при частоте вращения 700 об/с (график 1) и 1400 об/с (график 2) для вращающегося диска с плотностью ρ = 11000 кг/м³, а также h = 30 м., H = 10⁴ м., М = 6•10²⁴ кг.

На рисунке 5 дана зависимость нормальной силы, действующей на диск от частоты вращения при r_д = 4·10⁴м. И тех же условиях, что и для рисунка 4.

Естественно, что цифры в большей степени гипотетичны и приведенные зависимости носят в большей степени качественный характер в целях наглядной иллюстрации зависимости нормальной силы от частоты вращения.

03.11.2024 / Антигравитация